又是一个学了n遍还没学会的算法……

后缀数组是一种常用的处理字符串问题的数据结构，主要由\(sa\)和\(rank\)两个数组组成。以下给出一些定义：

\(str\)表示处理的字符串，长度为\(len\)。（下标从\(0\)开始）

\([i,j)\)表示\(str\)从\(i\)到\(j - 1\)的字串。

后缀\(i\)表示子串\([i,len)\)，以字典序排序。

\(sa[i]\)表示排名为\(i\)的后缀的起始位置（即后缀\(sa[i]\)是第\(i\)名）

\(rank[i]\)表示后缀\(i\)的排名（从\(0\)开始）。显然\(rank[sa[i]]=i\)。

一、基数排序

先简单介绍一下后缀数组的前置技能：基数排序。

以对整数数组\(arr\)排序为例。从低到高遍历每一个十进制位，对于每个位：

\(1.\)\(arr\)数组已经按照前\(i-1\)位排好序，（\(i=0\)时忽略这句），现在我们将把它变为按前\(i\)位排好序。脑补以下整数的比较方式，现在应该把第\(i\)位作为第一关键字，前\(i-1\)位作为第二关键字。

\(2.\)统计第\(i\)位为数字\(a\)的数的数量，存入\(count[a]\)。

\(3.\)对\(count\)数组求前缀和，算出最后一个第\(i\)位为\(a\)的数在按照前\(i\)位排序后数组中的位置的下一个。这句表达比较鬼畜，看下面的例子。

比如，\(i\)位为\(0\)的有\(2\)个，为\(1\)的有\(1\)个，为\(2\)的有\(3\)个，第\(3\)步以后\(count\)位\(\{2,3,6\}\)，那么排序后\(arr[0]\)和\(arr[1]\)的第\(i\)位为\(0\)，\(arr[2]\)的第\(i\)位为\(1\)，\(arr[3]\)到\(arr[5]\)的第\(i\)位为\(2\)。

\(4.\)逆序遍历\(arr\)，按照上一步中算出的第\(i\)位为\(a\)的数排序后的位置逆序填充临时数组。两个均逆序保证了对于第\(i\)位相同的数按照最初在\(arr\)中的位置排序。

\(5.\)最后，把临时数组复制给\(arr\)，此时\(arr\)按照前\(i\)位有序。

int count[10];for(int i = 1; i <= 10; i++, ra *= 10){    memset(count, 0, sizeof(count));    for (int j = 1; j <= n; j++)        ++count[arr[j] / ra % 10];//step 2    for (int j = 1; j < 10; j++)        count[j] += count[j - 1];//step 3    for(int j = n - 1; j >= 0; j--)        buc[--count[arr[j] / ra % 10]] = arr[j];    memcpy(arr, buc, sizeof(int[n]));}

二、倍增构造后缀数组

考虑我们现在有了对所有形如\([i,min(i+tmp,len))\)的子串排序的数组\(sa\)和\(rank\)（对于相同的子串，它们的\(rank\)值相同，在\(sa\)中顺序任意），我们现在要构造对所有形如\([i,min(i+2tmp,len))\)的子串排序。最坏情况下，当\(2tmp\geq len\)时就得到了答案。

可以发现此时很类似于基数排序时排到某一位时的情况。此时，第一关键字是\([i,i+tmp)\)，第二关键字是\([i+tmp, i+2tmp)\)。并且，现在已经按照第二关键字排好序了。

于是我们先看看此处的基数排序。其中\(kind\)是\(rank\)中不同值的种数（由于\(rank\)从\(0\)开始，也可以看成\(rank\)中最大值加\(1\)），\(tp[i]\)表示哪个串的第二关键字在所有第二关键字中的排名是\(i\)。

void radix_sort(){    static int count[N];    memset(count, 0, sizeof(int[kind]);    for (int i = 0; i < len; i++)        count[rank[tp[i]]]++;    for (int i = 1; i < kind; i++)        count[i] += count[i - 1];    for (int i = len - 1; i >= 0; i--)        sa[--count[rank[tp[i]]]] = tp[i];}

然后我们来构造\(tp\)数组。首先，对于起点在\([len-tmp,len)\)中的串，它们的第二关键字都是空串，排名是最低的。所以它们应当在\(tp\)的开头：

for (int i = len - tmp; i < len; i++)    tp[cnt++] = i;

然后，按照\(sa\)加入剩下的串。注意只有起点在\(tmp\)及以后的串才能作为第二关键字。

for(int i=0;i
    
     =tmp)        tp[cnt++]=sa[i]-tmp;
    

至此，\(tp\)数组构造完毕，可以进行基数排序。排序后，我们要按照新的\(sa\)和旧的\(rank\)构造新的\(rank\)。首先，把旧的\(rank\)进行拷贝。为了优化常数可以这样写：

swap(rank,tp)

记住，此后\(tp\)就只是旧的\(rank\)的一份拷贝了，没有更多实际意义。更新\(rank\)的过程比较显然。

rank[sa[0]] = 0;kind = 1;for (int i = 1; i < len; i++){    if (tp[sa[i]] == tp[sa[i - 1]] &&         (sa[i] + tmp < len && sa[i - 1] + tmp < len) &&         (tp[sa[i] + tmp] == tp[sa[i - 1] + tmp]))        rank[sa[i]] = rank[sa[i - 1]];    else        rank[sa[i]] = kind++;}

最后，如果\(kind=len\)，即\(rank\)已经两两不同，则说明已经得出了答案。

三、应用：构造\(height\)数组

我不会，你开心不qwq

四、完整代码：

int sa[N], rank[N], tp[N], kind, len;void radix_sort(){    static int count[N];    memset(count, 0, sizeof(int) * kind);    for (int i = 0; i < len; i++)        count[rank[tp[i]]]++;    for (int i = 1; i < kind; i++)        count[i] += count[i - 1];    for (int i = len - 1; i >= 0; i--)        sa[--count[rank[tp[i]]]] = tp[i];}void build(const string &s){    len = s.size();    for (int i = 0; i < len; i++)        rank[i] = s[i], tp[i] = i;    kind = CH;    radix_sort();    for (int tmp = 1; tmp < len; tmp *= 2)    {        int cnt = 0;        for (int i = len - tmp; i < len; i++)            tp[cnt++] = i;        for (int i = 0; i < len; i++)            if (sa[i] >= tmp)                tp[cnt++] = sa[i] - tmp;        radix_sort();        swap(rank, tp);        rank[sa[0]] = 0;        kind = 1;        for (int i = 1; i < len; i++)        {            if (tp[sa[i]] == tp[sa[i - 1]] &&                 (sa[i] + tmp < len && sa[i - 1] + tmp < len) &&                 (tp[sa[i] + tmp] == tp[sa[i - 1] + tmp]))                rank[sa[i]] = rank[sa[i - 1]];            else                rank[sa[i]] = kind++;        }        if (kind == len)            break;    }}